Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{9}}{x - 3}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $9 x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{9}}{x - 3}$ mit $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ .

$\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{9}}{x - 3}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{9 x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{9})}{9 x^{2} (x - 3)}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 9 x^{2} (- \frac{1}{9})}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 9 \frac{1}{x^{2}} + 9 x^{2} (- \frac{1}{9})}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot 9 \frac{1}{x^{2}} + 9 x^{2} (- \frac{1}{9})}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 + 9 x^{2} (- \frac{1}{9})}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9}$ in den Zähler.

$\frac{9 + 9 x^{2} \frac{- 1}{9}}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{9 + 9 (x^{2}) \frac{- 1}{9}}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 + 9 x^{2} \frac{- 1}{9}}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 + x^{2} \cdot - 1}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{9 - 1 \cdot x^{2}}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\frac{9 - x^{2}}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 4.3

Schreibe $9 - x^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3^{2} - x^{2}}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 4.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9 (x \cdot x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9 (x^{1} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9 x^{1 + 2} + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9 x^{3} + 9 x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9 x^{3} - 27 x^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $9 x^{2}$ aus $9 x^{3} - 27 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $9 x^{2}$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9 x^{2} (x) - 27 x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $9 x^{2}$ aus $- 27 x^{2}$ heraus.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9 x^{2} (x) + 9 x^{2} (- 3)}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $9 x^{2}$ aus $9 x^{2} (x) + 9 x^{2} (- 3)$ heraus.

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9 x^{2} (x - 3)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 - x$ und $x - 3$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{(3 + x) (- 1 (- 3) - x)}{9 x^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(3 + x) (- 1 (- 3) - (x))}{9 x^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - (x)$ heraus.

$\frac{(3 + x) (- 1 (- 3 + x))}{9 x^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{(3 + x) (- 1 (x - 3))}{9 x^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 + x) (- 1 (x - 3))}{9 x^{2} (x - 3)}$

Schritt 6.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 + x) \cdot (- 1)}{9 x^{2}}$

Schritt 7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $3 + x$ .

$\frac{- 1 \cdot (3 + x)}{9 x^{2}}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 + x}{9 x^{2}}$

Schritt 9

Zerlege den Bruch $\frac{3 + x}{9 x^{2}}$ in zwei Brüche.

$- (\frac{3}{9 x^{2}} + \frac{x}{9 x^{2}})$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- (\frac{3 (1)}{9 x^{2}} + \frac{x}{9 x^{2}})$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$- (\frac{3 (1)}{3 (3 x^{2})} + \frac{x}{9 x^{2}})$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{3 \cdot 1}{3 (3 x^{2})} + \frac{x}{9 x^{2}})$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x}{9 x^{2}})$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 11.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (\frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x^{1}}{9 x^{2}})$

Schritt 11.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$- (\frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x \cdot 1}{9 x^{2}})$

Schritt 11.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$- (\frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x \cdot 1}{x (9 x)})$

Schritt 11.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x \cdot 1}{x (9 x)})$

Schritt 11.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{1}{3 x^{2}} + \frac{1}{9 x})$