Elementarmathematik Beispiele

$\frac{- 8 r^{3} s - 12 r^{2} s^{2} + 20 r s^{3}}{- 4 r s}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4 r s$ aus $- 8 r^{3} s - 12 r^{2} s^{2} + 20 r s^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4 r s$ aus $- 8 r^{3} s$ heraus.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2}) - 12 r^{2} s^{2} + 20 r s^{3}}{- 4 r s}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $4 r s$ aus $- 12 r^{2} s^{2}$ heraus.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2}) + 4 r s (- 3 r s) + 20 r s^{3}}{- 4 r s}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4 r s$ aus $20 r s^{3}$ heraus.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2}) + 4 r s (- 3 r s) + 4 r s (5 s^{2})}{- 4 r s}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $4 r s$ aus $4 r s (- 2 r^{2}) + 4 r s (- 3 r s)$ heraus.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} - 3 r s) + 4 r s (5 s^{2})}{- 4 r s}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $4 r s$ aus $4 r s (- 2 r^{2} - 3 r s) + 4 r s (5 s^{2})$ heraus.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} - 3 r s + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} + 5 s^{2} - 3 r s)}{- 4 r s}$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $5 s^{2}$ und $- 3 r s$ um.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} - 3 r s + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 r s$ heraus.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} - 3 (r s) + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Schritt 1.2.1.4

Schreibe $- 3$ um als $2$ plus $- 5$

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} + (2 - 5) (r s) + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Schritt 1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} + 2 (r s) - 5 (r s) + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Schritt 1.2.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} + 2 r s - 5 r s + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{4 r s ((- 2 r^{2} + 2 r s) - 5 r s + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 r s (2 r (- r + s) + 5 s (- r + s))}{- 4 r s}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- r + s$ .

$\frac{4 r s ((- r + s) (2 r + 5 s))}{- 4 r s}$

$\frac{4 r s (- r + s) (2 r + 5 s)}{- 4 r s}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 4$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 r s (- r + s) (2 r + 5 s)$ heraus.

$\frac{4 ((r s (- r + s)) (2 r + 5 s))}{- 4 r s}$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 r s$ heraus.

$\frac{4 ((r s (- r + s)) (2 r + 5 s))}{4 (- r s)}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 ((r s (- r + s)) (2 r + 5 s))}{4 (- r s)}$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(r s (- r + s)) (2 r + 5 s)}{- r s}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r s (- r + s) (2 r + 5 s)}{- r s}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(s (- r + s)) (2 r + 5 s)}{- 1 s}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{s (- r + s) (2 r + 5 s)}{- 1 s}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- r + s) (2 r + 5 s)}{- 1}$

Schritt 4.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{(- r + s) (2 r + 5 s)}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((- r + s) (2 r + 5 s))$

Schritt 5

Schreibe $- 1 \cdot ((- r + s) (2 r + 5 s))$ als $- ((- r + s) (2 r + 5 s))$ um.

$- ((- r + s) (2 r + 5 s))$

Schritt 6

Multipliziere $(- r + s) (2 r + 5 s)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (- r (2 r + 5 s) + s (2 r + 5 s))$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (- r (2 r) - r (5 s) + s (2 r + 5 s))$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (- r (2 r) - r (5 s) + s (2 r) + s (5 s))$

Schritt 7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- (- 1 \cdot 2 r \cdot r - r (5 s) + s (2 r) + s (5 s))$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.2.1

Bewege $r$ .

$- (- 1 \cdot 2 (r \cdot r) - r (5 s) + s (2 r) + s (5 s))$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$- (- 1 \cdot 2 r^{2} - r (5 s) + s (2 r) + s (5 s))$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (- 2 r^{2} - r (5 s) + s (2 r) + s (5 s))$

Schritt 7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- (- 2 r^{2} - 1 \cdot 5 r s + s (2 r) + s (5 s))$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + s (2 r) + s (5 s))$

Schritt 7.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + 2 s r + s (5 s))$

Schritt 7.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + 2 s r + 5 s \cdot s)$

Schritt 7.1.8

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.8.1

Bewege $s$ .

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + 2 s r + 5 (s \cdot s))$

Schritt 7.1.8.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + 2 s r + 5 s^{2})$

Schritt 7.2

Addiere $- 5 r s$ und $2 s r$ .

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Schritt 7.2.1

Bewege $s$ .

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + 2 r s + 5 s^{2})$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 5 r s$ und $2 r s$ .

$- (- 2 r^{2} - 3 r s + 5 s^{2})$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$- (- 2 r^{2}) - (- 3 r s) - (5 s^{2})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 r^{2} - (- 3 r s) - (5 s^{2})$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$2 r^{2} + 3 (r s) - (5 s^{2})$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$2 r^{2} + 3 (r s) - 5 s^{2}$

$2 r^{2} + 3 r s - 5 s^{2}$