Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 1}{x - 1}$

Schritt 1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$1$

Schritt 2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$

Schritt 3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$4 x$

Schritt 11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$4 x$	+	$1$

Schritt 12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$4 x$	+	$1$

Schritt 13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$4 x$	+	$1$
							+	$4 x$	-	$4$

Schritt 14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 4$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$4 x$	+	$1$
							-	$4 x$	+	$4$

Schritt 15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$5 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$4 x$	+	$1$
							-	$4 x$	+	$4$
									+	$5$

Schritt 16

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x^{2} - x + 4 + \frac{5}{x - 1}$