Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $81$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$ mit $\frac{81}{81}$ .

$\frac{81}{81} \cdot \frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81})}{81 (x - \frac{1}{3})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (- \frac{1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{81}$ in den Zähler.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (\frac{- 1}{3})}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 (27) \frac{- 1}{3}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 \cdot 27 \frac{- 1}{3}}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 27 \cdot - 1}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$\frac{3 (27) \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 27 \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{9}$ .

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}$ in den Zähler.

$\frac{27 x^{3} + 81 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $9$ aus $81$ heraus.

$\frac{27 x^{3} + 9 (9) \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{3} + 9 \cdot 9 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 x^{3} + 9 (- x^{2} \cdot 2) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 9 (- 2 x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 (3) \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 \cdot 3 \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{81 x - 27}$

Schritt 4.8

Faktorisiere $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.8.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Schritt 4.8.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{1}$

Schritt 4.8.3

Setze $0.\overline{3}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.\overline{3}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.8.3.1

Setze $0.\overline{3}$ in das Polynom ein.

$27 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Schritt 4.8.3.2

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $3$ .

$27 \cdot 0.\overline{037} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Schritt 4.8.3.3

Mutltipliziere $27$ mit $0.\overline{037}$ .

$1 - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Schritt 4.8.3.4

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $2$ .

$1 - 18 \cdot 0.\overline{1} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Schritt 4.8.3.5

Mutltipliziere $- 18$ mit $0.\overline{1}$ .

$1 - 2 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Schritt 4.8.3.6

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Schritt 4.8.3.7

Mutltipliziere $6$ mit $0.\overline{3}$ .

$- 1 + 2 - 1$

Schritt 4.8.3.8

Addiere $- 1$ und $2$ .

$1 - 1$

Schritt 4.8.3.9

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 4.8.4

Da $0.\overline{3}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{3 x - 1}$

Schritt 4.8.5

Dividiere $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ durch $3 x - 1$ .

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Schritt 4.8.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$1$

$27 x^{3}$

$18 x^{2}$

$6 x$

$1$

Schritt 4.8.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $27 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$9 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

Schritt 4.8.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$27 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Schritt 4.8.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $27 x^{3} - 9 x^{2}$

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Schritt 4.8.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Schritt 4.8.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 4.8.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 9 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 4.8.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 4.8.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 9 x^{2} + 3 x$

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 4.8.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$

Schritt 4.8.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

Schritt 4.8.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

Schritt 4.8.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

Schritt 4.8.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x - 1$

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

Schritt 4.8.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

Schritt 4.8.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$9 x^{2} - 3 x + 1$

Schritt 4.8.6

Schreibe $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{81 x - 27}$

Schritt 5

Faktorisiere $27$ aus $81 x - 27$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $27$ aus $81 x$ heraus.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) - 27}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $27$ aus $- 27$ heraus.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) + 27 (- 1)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $27$ aus $27 (3 x) + 27 (- 1)$ heraus.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 1$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$

Schritt 7

Zerlege den Bruch $\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$ in zwei Brüche.

$\frac{9 x^{2} - 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Schritt 8

Zerlege den Bruch $\frac{9 x^{2} - 3 x}{27}$ in zwei Brüche.

$\frac{9 x^{2}}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $27$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{9 (x^{2})}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Schritt 9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Schritt 9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $27$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{27} + \frac{1}{27}$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 (9)} + \frac{1}{27}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- x}{9} + \frac{1}{27}$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{9} + \frac{1}{27}$