Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 15 x + 56 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $56$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 15 x = - 56$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{15}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + 15 x + {(\frac{15}{2})}^{2} = - 56 + {(\frac{15}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{2}$ an.

$x^{2} + 15 x + \frac{15^{2}}{2^{2}} = - 56 + {(\frac{15}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$x^{2} + 15 x + \frac{225}{2^{2}} = - 56 + {(\frac{15}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 15 x + \frac{225}{4} = - 56 + {(\frac{15}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 56 + {(\frac{15}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{2}$ an.

$x^{2} + 15 x + \frac{225}{4} = - 56 + \frac{15^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$x^{2} + 15 x + \frac{225}{4} = - 56 + \frac{225}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 15 x + \frac{225}{4} = - 56 + \frac{225}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Um $- 56$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + 15 x + \frac{225}{4} = - 56 \cdot \frac{4}{4} + \frac{225}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $- 56$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + 15 x + \frac{225}{4} = \frac{- 56 \cdot 4}{4} + \frac{225}{4}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + 15 x + \frac{225}{4} = \frac{- 56 \cdot 4 + 225}{4}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 56$ mit $4$ .

$x^{2} + 15 x + \frac{225}{4} = \frac{- 224 + 225}{4}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $- 224$ und $225$ .

$x^{2} + 15 x + \frac{225}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{15}{2})}^{2}$ .

${(x + \frac{15}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{15}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x + \frac{15}{2} = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x + \frac{15}{2} = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + \frac{15}{2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{15}{2} = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + \frac{15}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Subtrahiere $\frac{15}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{1}{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 - 15}{2}$

Schritt 6.3.2.3

Subtrahiere $15$ von $1$ .

$x = \frac{- 14}{2}$

Schritt 6.3.2.4

Dividiere $- 14$ durch $2$ .

$x = - 7$

Schritt 6.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + \frac{15}{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.4.1

Subtrahiere $\frac{15}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{1}{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 1 - 15}{2}$

Schritt 6.3.4.3

Subtrahiere $15$ von $- 1$ .

$x = \frac{- 16}{2}$

Schritt 6.3.4.4

Dividiere $- 16$ durch $2$ .

$x = - 8$

Schritt 6.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - 7, - 8$