Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 7 x = 3$

Schritt 1

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 2

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 7 x + {(- \frac{7}{2})}^{2} = 3 + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$x^{2} - 7 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2} = 3 + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$x^{2} - 7 x + {(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + 1 \frac{7^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{7^{2}}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.4

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{2^{2}} = 3 + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 3 + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $3 + {(- \frac{7}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 3 + {(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 3 + {(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 3 + 1 \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 3 + \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.4

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 3 + \frac{49}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 3 + \frac{49}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{49}{4}$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{49}{4}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 49}{4}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = \frac{12 + 49}{4}$

Schritt 3.2.1.5.2

Addiere $12$ und $49$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = \frac{61}{4}$

Schritt 4

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{7}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{61}{4}$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{7}{2} = \pm \sqrt{\frac{61}{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{61}{4}}$ .

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Schritt 5.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{61}{4}}$ als $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{4}}$ um.

$x - \frac{7}{2} = \pm \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - \frac{7}{2} = \pm \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{7}{2} = \pm \frac{\sqrt{61}}{2}$

Schritt 5.3

Addiere $\frac{7}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{61}}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{61}}{2} + \frac{7}{2}$

Dezimalform:

$x = 7.40512483 \dots, - 0.40512483 \dots$