Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - 7 x + \frac{5}{4} = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{5}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 7 x = - \frac{5}{4}$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 7 x + {(- \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$x^{2} - 7 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$x^{2} - 7 x + {(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + 1 \frac{7^{2}}{2^{2}} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{7^{2}}{2^{2}} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{2^{2}} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = - \frac{5}{4} + {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{5}{4} + {(- \frac{7}{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = - \frac{5}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = - \frac{5}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = - \frac{5}{4} + 1 \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = - \frac{5}{4} + \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.4

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = - \frac{5}{4} + \frac{49}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = - \frac{5}{4} + \frac{49}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = \frac{- 5 + 49}{4}$

Schritt 4.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Addiere $- 5$ und $49$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = \frac{44}{4}$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Dividiere $44$ durch $4$ .

$x^{2} - 7 x + \frac{49}{4} = 11$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{7}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} = 11$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{7}{2} = \pm \sqrt{11}$

Schritt 6.2

Addiere $\frac{7}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \sqrt{11} + \frac{7}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \sqrt{11} + \frac{7}{2}$

Dezimalform:

$x = 6.81662479 \dots, 0.18337520 \dots$