Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} - x - 12 = 0$

Schritt 1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x = 12$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - x + {(- \frac{1}{2})}^{2} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$x^{2} - x + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$x^{2} - x + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - x + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - x + \frac{1^{2}}{2^{2}} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - x + \frac{1}{2^{2}} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache $12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $12$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 1}{4}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{48 + 1}{4}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $48$ und $1$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{49}{4}$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{1}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{49}{4}$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{49}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{49}{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{49}{4}}$ als $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}$ um.

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{7}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{7}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{7}{2}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{7}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 + 1}{2}$

Schritt 6.3.2.3

Addiere $7$ und $1$ .

$x = \frac{8}{2}$

Schritt 6.3.2.4

Dividiere $8$ durch $2$ .

$x = 4$

Schritt 6.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - \frac{1}{2} = - \frac{7}{2}$

Schritt 6.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.4.1

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{7}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 7 + 1}{2}$

Schritt 6.3.4.3

Addiere $- 7$ und $1$ .

$x = \frac{- 6}{2}$

Schritt 6.3.4.4

Dividiere $- 6$ durch $2$ .

$x = - 3$

Schritt 6.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 3$