Elementarmathematik Beispiele

$15 x^{2} + 58 x + 48 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $48$ von beiden Seiten der Gleichung.

$15 x^{2} + 58 x = - 48$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $15 x^{2} + 58 x = - 48$ durch $15$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $15 x^{2} + 58 x = - 48$ durch $15$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} + \frac{58 x}{15} = \frac{- 48}{15}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 x^{2}}{15} + \frac{58 x}{15} = \frac{- 48}{15}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{58 x}{15} = \frac{- 48}{15}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 48$ und $15$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 48$ heraus.

$x^{2} + \frac{58 x}{15} = \frac{3 (- 16)}{15}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$x^{2} + \frac{58 x}{15} = \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 5}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{58 x}{15} = \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 5}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{58 x}{15} = \frac{- 16}{5}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} + \frac{58 x}{15} = - \frac{16}{5}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{29}{15})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + {(\frac{29}{15})}^{2} = - \frac{16}{5} + {(\frac{29}{15})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{29}{15}$ an.

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{29^{2}}{15^{2}} = - \frac{16}{5} + {(\frac{29}{15})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $29$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{15^{2}} = - \frac{16}{5} + {(\frac{29}{15})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $15$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{225} = - \frac{16}{5} + {(\frac{29}{15})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{16}{5} + {(\frac{29}{15})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{29}{15}$ an.

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{225} = - \frac{16}{5} + \frac{29^{2}}{15^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $29$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{225} = - \frac{16}{5} + \frac{841}{15^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $15$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{225} = - \frac{16}{5} + \frac{841}{225}$

Schritt 5.2.1.2

Um $- \frac{16}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{45}{45}$ .

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{225} = - \frac{16}{5} \cdot \frac{45}{45} + \frac{841}{225}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $225$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{16}{5}$ mit $\frac{45}{45}$ .

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{225} = - \frac{16 \cdot 45}{5 \cdot 45} + \frac{841}{225}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $45$ .

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{225} = - \frac{16 \cdot 45}{225} + \frac{841}{225}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{225} = \frac{- 16 \cdot 45 + 841}{225}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $45$ .

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{225} = \frac{- 720 + 841}{225}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $- 720$ und $841$ .

$x^{2} + \frac{58 x}{15} + \frac{841}{225} = \frac{121}{225}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{29}{15})}^{2}$ .

${(x + \frac{29}{15})}^{2} = \frac{121}{225}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{29}{15} = \pm \sqrt{\frac{121}{225}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{121}{225}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{121}{225}}$ als $\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{225}}$ um.

$x + \frac{29}{15} = \pm \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{225}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $121$ als $11^{2}$ um.

$x + \frac{29}{15} = \pm \frac{\sqrt{11^{2}}}{\sqrt{225}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{29}{15} = \pm \frac{11}{\sqrt{225}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$x + \frac{29}{15} = \pm \frac{11}{\sqrt{15^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{29}{15} = \pm \frac{11}{15}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + \frac{29}{15} = \frac{11}{15}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $\frac{29}{15}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{11}{15} - \frac{29}{15}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{11 - 29}{15}$

Schritt 7.3.2.3

Subtrahiere $29$ von $11$ .

$x = \frac{- 18}{15}$

Schritt 7.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $15$ .

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Schritt 7.3.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 18$ heraus.

$x = \frac{3 (- 6)}{15}$

Schritt 7.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot - 6}{3 \cdot 5}$

Schritt 7.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot - 6}{3 \cdot 5}$

Schritt 7.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 6}{5}$

Schritt 7.3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{6}{5}$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + \frac{29}{15} = - \frac{11}{15}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Subtrahiere $\frac{29}{15}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{11}{15} - \frac{29}{15}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 11 - 29}{15}$

Schritt 7.3.4.3

Subtrahiere $29$ von $- 11$ .

$x = \frac{- 40}{15}$

Schritt 7.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 40$ und $15$ .

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Schritt 7.3.4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 40$ heraus.

$x = \frac{5 (- 8)}{15}$

Schritt 7.3.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.4.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$x = \frac{5 \cdot - 8}{5 \cdot 3}$

Schritt 7.3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5 \cdot - 8}{5 \cdot 3}$

Schritt 7.3.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 8}{3}$

Schritt 7.3.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8}{3}$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - \frac{6}{5}, - \frac{8}{3}$