Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} - 7 x + 9 = (x - 3) (x + 1) + 3 x$

Schritt 1

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 1.1

Vereinfache $(x - 3) (x + 1) + 3 x$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Multipliziere $(x - 3) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 7 x + 9 = x (x + 1) - 3 (x + 1) + 3 x$

Schritt 1.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 7 x + 9 = x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1) + 3 x$

Schritt 1.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 7 x + 9 = x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1 + 3 x$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 7 x + 9 = x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1 + 3 x$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} - 7 x + 9 = x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1 + 3 x$

Schritt 1.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$2 x^{2} - 7 x + 9 = x^{2} + x - 3 x - 3 + 3 x$

Schritt 1.1.1.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$2 x^{2} - 7 x + 9 = x^{2} - 2 x - 3 + 3 x$

Schritt 1.1.2

Addiere $- 2 x$ und $3 x$ .

$2 x^{2} - 7 x + 9 = x^{2} + x - 3$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 7 x = x^{2} + x - 3 - 9$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $9$ von $- 3$ .

$2 x^{2} - 7 x = x^{2} + x - 12$

Schritt 1.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 7 x - x^{2} = x - 12$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 7 x - x^{2} - x = - 12$

Schritt 1.3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 7 x - x = - 12$

Schritt 1.3.4

Subtrahiere $x$ von $- 7 x$ .

$x^{2} - 8 x = - 12$

Schritt 2

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 4)}^{2}$

Schritt 3

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 8 x + {(- 4)}^{2} = - 12 + {(- 4)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x^{2} - 8 x + 16 = - 12 + {(- 4)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- 12 + {(- 4)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x^{2} - 8 x + 16 = - 12 + 16$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 12$ und $16$ .

$x^{2} - 8 x + 16 = 4$

Schritt 5

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - 4)}^{2}$ .

${(x - 4)}^{2} = 4$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 4 = \pm \sqrt{4}$

Schritt 6.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - 4 = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - 4 = \pm 2$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 4 = 2$

Schritt 6.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2 + 4$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $2$ und $4$ .

$x = 6$

Schritt 6.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 4 = - 2$

Schritt 6.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.4.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 + 4$

Schritt 6.3.4.2

Addiere $- 2$ und $4$ .

$x = 2$

Schritt 6.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 6, 2$