Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 4 x = - 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} + 4 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} + 4 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} + \frac{4 x}{3} = - \frac{1}{3}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2} = - \frac{1}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{2^{2}}{3^{2}} = - \frac{1}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3^{2}} = - \frac{1}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4}{9} = - \frac{1}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{1}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4}{9} = - \frac{1}{3} + \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4}{9} = - \frac{1}{3} + \frac{4}{3^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4}{9} = - \frac{1}{3} + \frac{4}{9}$

Schritt 5.2.1.2

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4}{9} = - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{9}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4}{9} = - \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{9}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4}{9} = - \frac{3}{9} + \frac{4}{9}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4}{9} = \frac{- 3 + 4}{9}$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $- 3$ und $4$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{2}{3})}^{2}$ .

${(x + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{2}{3} = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{9}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ um.

$x + \frac{2}{3} = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Schritt 7.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x + \frac{2}{3} = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x + \frac{2}{3} = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{2}{3} = \pm \frac{1}{3}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{1}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{1 - 2}{3}$

Schritt 7.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 7.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 1 - 2}{3}$

Schritt 7.3.4.3

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$x = \frac{- 3}{3}$

Schritt 7.3.4.4

Dividiere $- 3$ durch $3$ .

$x = - 1$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - \frac{1}{3}, - 1$