Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{2} + 6 x - 5 = 0$

Schritt 1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 6 x = 5$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} + 6 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} + 6 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{6 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{6 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{6 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{3 (2 x)}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{2} + \frac{3 (2 x)}{3 (1)} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{3 (2 x)}{3 \cdot 1} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{2 x}{1} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.1.2.2.4

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$x^{2} + 2 x = \frac{5}{3}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(1)}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + 2 x + {(1)}^{2} = \frac{5}{3} + {(1)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{5}{3} + {(1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{5}{3} + {(1)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{5}{3} + 1$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{5}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{5 + 3}{3}$

Schritt 5.2.1.4

Addiere $5$ und $3$ .

$x^{2} + 2 x + 1 = \frac{8}{3}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{8}{3}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 1 = \pm \sqrt{\frac{8}{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{8}{3}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{8}{3}}$ als $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ um.

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 7.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 7.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x + 1 = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 1$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3} - 1$

Dezimalform:

$x = 0.63299316 \dots, - 2.63299316 \dots$