Elementarmathematik Beispiele

$3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 2 x = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} - 2 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} - 2 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + 1 \frac{1^{2}}{3^{2}} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 5.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 5.1.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{1}{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + 1 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

Schritt 5.2.1.2

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{9}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{9}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{3 + 1}{9}$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{1}{3})}^{2}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{1}{3} = \pm \sqrt{\frac{4}{9}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{9}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{9}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$ um.

$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{9}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{2}{\sqrt{9}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{2}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{2}{3}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 + 1}{3}$

Schritt 7.3.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x = \frac{3}{3}$

Schritt 7.3.2.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

$x = 1$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - \frac{1}{3} = - \frac{2}{3}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 2 + 1}{3}$

Schritt 7.3.4.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 7.3.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - \frac{1}{3}$