Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} - 8 x + 2 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 8 x = - 2$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} - 8 x = - 2$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} - 8 x = - 2$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 8 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $4$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{4 (- 2 x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x^{2} + \frac{4 (- 2 x)}{4 (1)} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{4 (- 2 x)}{4 \cdot 1} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- 2 x}{1} = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.4

Dividiere $- 2 x$ durch $1$ .

$x^{2} - 2 x = \frac{- 2}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x^{2} - 2 x = \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x^{2} - 2 x = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 2 x = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 2 x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - 2 x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 2 x + {(- 1)}^{2} = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = - \frac{1}{2} + 1$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 2 x + 1 = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 2 x + 1 = \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 5.2.1.4

Addiere $- 1$ und $2$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - 1)}^{2}$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 1 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x - 1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 7.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 7.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 7.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

Dezimalform:

$x = 1.70710678 \dots, 0.29289321 \dots$