Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} = 2 x - 7$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 2 x = - 7$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} - 2 x = - 7$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} - 2 x = - 7$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{4} = \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{4} = \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (2)} = \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 2} = \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- x}{2} = \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{x}{2} = \frac{- 7}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{x}{2} = - \frac{7}{4}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - \frac{x}{2} + {(- \frac{1}{4})}^{2} = - \frac{7}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} = - \frac{7}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} = - \frac{7}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + 1 \frac{1^{2}}{4^{2}} = - \frac{7}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1^{2}}{4^{2}} = - \frac{7}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4^{2}} = - \frac{7}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- \frac{7}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7}{4} + 1 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7}{4} + \frac{1}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7}{4} + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Um $- \frac{7}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7 \cdot 4}{16} + \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{- 7 \cdot 4 + 1}{16}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{- 28 + 1}{16}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $- 28$ und $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{- 27}{16}$

Schritt 5.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{27}{16}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - \frac{1}{4})}^{2}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} = - \frac{27}{16}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{- \frac{27}{16}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{27}{16}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $- \frac{27}{16}$ als ${(\frac{3 i}{4})}^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{27}{16}}$

Schritt 7.2.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $27$ heraus.

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3^{2} \cdot 3}{16}}$

Schritt 7.2.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3^{2} \cdot 3}{4^{2} \cdot 1}}$

Schritt 7.2.1.4

Ordne den Bruch $\frac{3^{2} \cdot 3}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{3}{4})}^{2} \cdot 3)}$

Schritt 7.2.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}$ als ${(\frac{3 i}{4})}^{2}$ um.

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{{(\frac{3 i}{4})}^{2} \cdot 3}$

Schritt 7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{3 i}{4} \sqrt{3}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $\frac{3 i}{4}$ und $\sqrt{3}$ .

$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{3 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{3 i \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 7.3.2

Stelle $\pm \frac{3 i \sqrt{3}}{4}$ und $\frac{1}{4}$ um.

$x = \frac{1}{4} \pm \frac{3 i \sqrt{3}}{4}$