Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} = - 16 x + 9$

Schritt 1

Addiere $16 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 16 x = 9$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} + 16 x = 9$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} + 16 x = 9$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{16 x}{4} = \frac{9}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{16 x}{4} = \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{16 x}{4} = \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{4 (4 x)}{4} = \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x^{2} + \frac{4 (4 x)}{4 (1)} = \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{4 (4 x)}{4 \cdot 1} = \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{4 x}{1} = \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.1.2.2.4

Dividiere $4 x$ durch $1$ .

$x^{2} + 4 x = \frac{9}{4}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(2)}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + {(2)}^{2} = \frac{9}{4} + {(2)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x + 4 = \frac{9}{4} + {(2)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{9}{4} + {(2)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x + 4 = \frac{9}{4} + 4$

Schritt 5.2.1.2

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + 4 x + 4 = \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + 4 x + 4 = \frac{9}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + 4 x + 4 = \frac{9 + 4 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 = \frac{9 + 16}{4}$

Schritt 5.2.1.5.2

Addiere $9$ und $16$ .

$x^{2} + 4 x + 4 = \frac{25}{4}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{25}{4}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + 2 = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{4}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ um.

$x + 2 = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x + 2 = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + 2 = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + 2 = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 7.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + 2 = \pm \frac{5}{2}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 2 = \frac{5}{2}$

Schritt 7.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{5}{2} - 2$

Schritt 7.3.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.3.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 - 4}{2}$

Schritt 7.3.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 2 = - \frac{5}{2}$

Schritt 7.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{5}{2} - 2$

Schritt 7.3.4.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.3.4.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 5 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.4.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 - 4}{2}$

Schritt 7.3.4.5.2

Subtrahiere $4$ von $- 5$ .

$x = \frac{- 9}{2}$

Schritt 7.3.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{9}{2}$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{9}{2}$