Elementarmathematik Beispiele

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = - 5$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = - 5$

Schritt 2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 u^{2} - 14 u + 2 + 5 = 0$

Schritt 3

Addiere $2$ und $5$ .

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u^{2} - 14 u + 7$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u^{2}$ heraus.

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 14 u$ heraus.

$7 u^{2} + 7 (- 2 u) + 7 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$7 u^{2} + 7 (- 2 u) + 7 (1) = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $7$ aus $7 u^{2} + 7 (- 2 u)$ heraus.

$7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1) = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $7$ aus $7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1)$ heraus.

$7 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$7 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$7 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$7 {(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $7 {(u - 1)}^{2} = 0$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $7 {(u - 1)}^{2} = 0$ durch $7$ .

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere ${(u - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{7}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $7$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 6

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 7

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 8

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = 1$

Schritt 9

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 10

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 11

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 12

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 12.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 12.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 12.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 12.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 13

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 13.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 14

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 15