Elementarmathematik Beispiele

${(x)}^{- \frac{2}{3}} + {(x)}^{- \frac{1}{3}} - 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{- \frac{2}{3}}$ als ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ um.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 12 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{- \frac{1}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$u^{2} + u - 12 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} + u - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $1$ ist.

$- 3, 4$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u + 4) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$(x^{- \frac{1}{3}} - 3) (x^{- \frac{1}{3}} + 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{- \frac{1}{3}} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{- \frac{1}{3}} - 3$ gleich $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{- \frac{1}{3}} = 3$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $- 3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = 3^{- 3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = 3^{- 3}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = 3^{- 3}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = 3^{- 3}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = 3^{- 3}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{- 1 \cdot - 1} = 3^{- 3}$

Schritt 3.2.3.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{1} = 3^{- 3}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 3^{- 3}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Vereinfache $3^{- 3}$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3^{3}}$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{1}{27}$

Schritt 4

Setze $x^{- \frac{1}{3}} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{- \frac{1}{3}} + 4$ gleich $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{- \frac{1}{3}} = - 4$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $- 3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = {(- 4)}^{- 3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = {(- 4)}^{- 3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{- 1 \cdot - 1} = {(- 4)}^{- 3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{1} = {(- 4)}^{- 3}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 4)}^{- 3}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Vereinfache ${(- 4)}^{- 3}$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{{(- 4)}^{3}}$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{1}{- 64}$

Schritt 4.2.3.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{64}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{- \frac{1}{3}} - 3) (x^{- \frac{1}{3}} + 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{27}, - \frac{1}{64}$

Schritt 6