Elementarmathematik Beispiele

$x^{5} - 3 x^{4} + 19 x^{3} - 49 x^{2} + 48 x - 16$

Schritt 1

Setze $x^{5} - 3 x^{4} + 19 x^{3} - 49 x^{2} + 48 x - 16$ gleich $0$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 19 x^{3} - 49 x^{2} + 48 x - 16 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} + 19 x^{3} + 48 x - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} + 19 x^{3} + 48 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + 19 x^{3} + 48 x - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $19 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (19 x^{2}) + 48 x - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $48 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (19 x^{2}) + x \cdot 48 - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (19 x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} + 19 x^{2}) + x \cdot 48 - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} + 19 x^{2}) + x \cdot 48$ heraus.

$x (x^{4} + 19 x^{2} + 48) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 48) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} + 19 u + 48) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} + 19 u + 48$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $48$ und deren Summe $19$ ist.

$3, 16$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u + 3) (u + 16)) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.6.1

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} + 3) (x^{2} + 16)) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 x^{4} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.7

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 {(x^{2})}^{2} - 49 x^{2} - 16 = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 u^{2} - 49 u - 16 = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot - 16 = 48$ und deren Summe gleich $b = - 49$ ist.

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Schritt 2.1.9.1.1

Faktorisiere $- 49$ aus $- 49 u$ heraus.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 u^{2} - 49 u - 16 = 0$

Schritt 2.1.9.1.2

Schreibe $- 49$ um als $- 1$ plus $- 48$

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 u^{2} + (- 1 - 48) u - 16 = 0$

Schritt 2.1.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 u^{2} - 1 u - 48 u - 16 = 0$

Schritt 2.1.9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) - 3 u^{2} - 1 u - 48 u - 16 = 0$

Schritt 2.1.9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) + u (- 3 u - 1) + 16 (- 3 u - 1) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 u - 1$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) + (- 3 u - 1) (u + 16) = 0$

Schritt 2.1.10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) + (- 3 x^{2} - 1) (x^{2} + 16) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere $x^{2} + 16$ aus $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16) + (- 3 x^{2} - 1) (x^{2} + 16)$ heraus.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $x^{2} + 16$ aus $x (x^{2} + 3) (x^{2} + 16)$ heraus.

$(x^{2} + 16) (x (x^{2} + 3)) + (- 3 x^{2} - 1) (x^{2} + 16) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Faktorisiere $x^{2} + 16$ aus $(- 3 x^{2} - 1) (x^{2} + 16)$ heraus.

$(x^{2} + 16) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 16) (- 3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.11.3

Faktorisiere $x^{2} + 16$ aus $(x^{2} + 16) (x (x^{2} + 3)) + (x^{2} + 16) (- 3 x^{2} - 1)$ heraus.

$(x^{2} + 16) (x (x^{2} + 3) - 3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 16) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.13

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.13.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.13.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} + 16) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{2} + 16) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x^{2} + 16) (x^{3} + x \cdot 3 - 3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.14

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{2} + 16) (x^{3} + 3 x - 3 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.15

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 16) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Schritt 2.1.16

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.16.1

Faktorisiere $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.16.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.16.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1$

Schritt 2.1.16.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.16.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 2.1.16.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 2.1.16.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 2.1.16.1.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 2.1.16.1.3.5

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 2.1.16.1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Schritt 2.1.16.1.3.7

Addiere $- 2$ und $3$ .

$1 - 1$

Schritt 2.1.16.1.3.8

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 2.1.16.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Schritt 2.1.16.1.5

Dividiere $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.1.16.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Schritt 2.1.16.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Schritt 2.1.16.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.16.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.16.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.16.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 2.1.16.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 2.1.16.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 2.1.16.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 2.1.16.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Schritt 2.1.16.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 2.1.16.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 2.1.16.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Schritt 2.1.16.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x - 1$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Schritt 2.1.16.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Schritt 2.1.16.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 2.1.16.1.6

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.16.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.16.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2})) = 0$

Schritt 2.1.16.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 2.1.16.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 2.1.16.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 16) ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.16.3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 2.1.16.3.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x^{2} + 16) ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.16.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{2} + 16) {(x - 1)}^{1 + 2} = 0$

Schritt 2.1.16.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(x^{2} + 16) {(x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 16$ gleich $0$ .

$x^{2} + 16 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 16$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Schritt 2.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Schritt 2.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Schritt 2.3.2.3.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Schritt 2.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 4$

Schritt 2.3.2.3.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 4 i$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4 i$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4 i$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4 i, - 4 i$

Schritt 2.4

Setze ${(x - 1)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x - 1)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x - 1)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 16) {(x - 1)}^{3} = 0$ wahr machen.

$x = 4 i, - 4 i, 1$

Schritt 3