Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + 9 x + 27 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{3} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3} + 9 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{2} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $9 x$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (- 9)$ heraus.

$- x (x^{2} - 9) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- x (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 27 = 54$ und deren Summe gleich $b = - 21$ ist.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $- 21$ aus $- 21 u$ heraus.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Schritt 1.7.1.2

Schreibe $- 21$ um als $- 3$ plus $- 18$

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} + (- 3 - 18) u + 27 = 0$

Schritt 1.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Schritt 1.7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Schritt 1.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x (x + 3) (x - 3) + u (2 u - 3) - 9 (2 u - 3) = 0$

Schritt 1.7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 u - 3) (u - 9) = 0$

Schritt 1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 1.9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 1.10

Faktorisiere.

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Schritt 1.10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 1.11

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

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Schritt 1.11.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 1.11.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.11.3

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- x + 2 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 3) (x - 3) (- u + 2 u^{2} - 3) = 0$

Schritt 1.13

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.13.1

Stelle die Terme um.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - u - 3) = 0$

Schritt 1.13.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 1.13.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - (u) - 3) = 0$

Schritt 1.13.2.2

Schreibe $- 1$ um als $2$ plus $- 3$

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + (2 - 3) u - 3) = 0$

Schritt 1.13.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + 2 u - 3 u - 3) = 0$

Schritt 1.13.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.13.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 3) (x - 3) ((2 u^{2} + 2 u) - 3 u - 3) = 0$

Schritt 1.13.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 3) (x - 3) (2 u (u + 1) - 3 (u + 1)) = 0$

Schritt 1.13.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u + 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((u + 1) (2 u - 3)) = 0$

Schritt 1.14

Faktorisiere.

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Schritt 1.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x + 1) (2 x - 3)) = 0$

Schritt 1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, - 1, \frac{3}{2}$

Schritt 8