Elementarmathematik Beispiele

$5 \cot^{2} (x) - 15 = 0$

Schritt 1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 \cot^{2} (x) = 15$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $5 \cot^{2} (x) = 15$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cot^{2} (x) = 15$ durch $5$ .

$\frac{5 \cot^{2} (x)}{5} = \frac{15}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cot^{2} (x)}{5} = \frac{15}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cot^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{15}{5}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $15$ durch $5$ .

$\cot^{2} (x) = 3$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 5

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 6

Löse in $\cot (x) = \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $arccot (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 6.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{6}$

Schritt 6.4

Vereinfache $π + \frac{π}{6}$ .

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Schritt 6.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 6.4.3.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 6.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Löse in $\cot (x) = - \sqrt{3}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $arccot (- \sqrt{3})$ ist $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 7.3

Die Kotangens-Funktion ist im zweiten und vierten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu bestimmen.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.4.1

Addiere $2 π$ zu $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Schritt 7.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{11 π}{6}$ ist positiv und gleich $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $\frac{π}{6} + π n$ und $\frac{7 π}{6} + π n$ zu $\frac{π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9.2

Führe $\frac{5 π}{6} + π n$ und $\frac{11 π}{6} + π n$ zu $\frac{5 π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10