Elementarmathematik Beispiele

$y = 4 x^{3} - 20 x^{2} + 25 x$

Schritt 1

Setze $4 x^{3} - 20 x^{2} + 25 x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 20 x^{2} + 25 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3} - 20 x^{2} + 25 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$x (4 x^{2}) - 20 x^{2} + 25 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 20 x^{2}$ heraus.

$x (4 x^{2}) + x (- 20 x) + 25 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $25 x$ heraus.

$x (4 x^{2}) + x (- 20 x) + x \cdot 25 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2}) + x (- 20 x)$ heraus.

$x (4 x^{2} - 20 x) + x \cdot 25 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2} - 20 x) + x \cdot 25$ heraus.

$x (4 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$x ({(2 x)}^{2} - 20 x + 25) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x ({(2 x)}^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$20 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 5$

Schritt 2.1.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$x ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 5$ .

$x {(2 x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(2 x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(2 x - 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(2 x - 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(2 x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(2 x - 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 2.4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x {(2 x - 5)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{5}{2}$

Schritt 3