Elementarmathematik Beispiele

$\sin (2 x) = 2 \sin (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $2 \sin (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 2

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 2 \sin (x)$ heraus.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 5.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (x) = 1$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.2.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 6.2.5

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 6.2.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9