Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Setze $- \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$ gleich $0$ .

$- \cos (2 x) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache $- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2.1.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 1 + 2 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.2.1

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2.5

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$- (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Addiere $- \sin^{2} (x)$ und $2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (x) = \pm 0$

Schritt 2.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 2.3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 2.3.6

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 2.3.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.3.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.3.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.3.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.3.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3