Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{4} - 21 x^{2} + 5$

Schritt 1

Setze $4 x^{4} - 21 x^{2} + 5$ gleich $0$ .

$4 x^{4} - 21 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$4 u^{2} - 21 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ und deren Summe gleich $b = - 21$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 21$ aus $- 21 u$ heraus.

$4 u^{2} - 21 u + 5 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 21$ um als $- 1$ plus $- 20$

$4 u^{2} + (- 1 - 20) u + 5 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} - 1 u - 20 u + 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} - 1 u) - 20 u + 5 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u - 1) - 5 (4 u - 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 5) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 5 = 0$

Schritt 2.4

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $4 u - 1$ gleich $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $4 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 u - 1) (u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{4}, 5$

Schritt 2.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Schritt 2.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 2.9.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.9.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.9.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.9.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.9.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 2.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 2.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 5$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 5$

Schritt 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 2.11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 2.11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 2.11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 2.12

Die Lösung von $4 x^{4} - 21 x^{2} + 5 = 0$ ist $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 0.5, - 0.5, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$

Schritt 4