Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6$

Schritt 1

Setze $3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6$ gleich $0$ .

$3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 7 x^{3} - 7 x + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x^{3} - 7 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x^{3}$ heraus.

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x$ heraus.

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot 1 + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 7 x$ aus $- 7 x (x^{2}) - 7 x (1)$ heraus.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4} - 3 x^{2} - 6$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) - 3 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) + 3 (- x^{2}) - 6 = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) + 3 (- x^{2}) + 3 (- 2) = 0$

Schritt 2.1.3.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{4}) + 3 (- x^{2})$ heraus.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4} - x^{2}) + 3 (- 2) = 0$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{4} - x^{2}) + 3 (- 2)$ heraus.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4} - x^{2} - 2) = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 2) = 0$

Schritt 2.1.5

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (u^{2} - u - 2) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $u^{2} - u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 2.1.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.7.1

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ((x^{2} - 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ heraus.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- 7 x (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- 7 x) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- 7 x) + (x^{2} + 1) (3 (x^{2} - 2)) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (- 7 x) + (x^{2} + 1) (3 (x^{2} - 2))$ heraus.

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 (x^{2} - 2)) = 0$

Schritt 2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.11

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 7 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.12.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.12.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.1.12.1.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 7 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.12.1.1.2

Schreibe $- 7$ um als $2$ plus $- 9$

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} + (2 - 9) x - 6) = 0$

Schritt 2.1.12.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 2 x - 9 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.12.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.12.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{2} + 1) ((3 x^{2} + 2 x) - 9 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.12.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x^{2} + 1) (x (3 x + 2) - 3 (3 x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.12.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 2$ .

$(x^{2} + 1) ((3 x + 2) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (3 x + 2) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$3 x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.4

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 1) (3 x + 2) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, - \frac{2}{3}, 3$

Schritt 3