Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 7 x^{4} + 49 x^{2} + 14$

Schritt 1

Setze $7 x^{4} + 49 x^{2} + 14$ gleich $0$ .

$7 x^{4} + 49 x^{2} + 14 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$7 u^{2} + 49 u + 14 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $7$ aus $7 u^{2} + 49 u + 14$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u^{2}$ heraus.

$7 (u^{2}) + 49 u + 14 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $7$ aus $49 u$ heraus.

$7 (u^{2}) + 7 (7 u) + 14 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $7$ aus $14$ heraus.

$7 u^{2} + 7 (7 u) + 7 \cdot 2 = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $7$ aus $7 u^{2} + 7 (7 u)$ heraus.

$7 (u^{2} + 7 u) + 7 \cdot 2 = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $7$ aus $7 (u^{2} + 7 u) + 7 \cdot 2$ heraus.

$7 (u^{2} + 7 u + 2) = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $7 (u^{2} + 7 u + 2) = 0$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $7 (u^{2} + 7 u + 2) = 0$ durch $7$ .

$\frac{7 (u^{2} + 7 u + 2)}{7} = \frac{0}{7}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (u^{2} + 7 u + 2)}{7} = \frac{0}{7}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $u^{2} + 7 u + 2$ durch $1$ .

$u^{2} + 7 u + 2 = \frac{0}{7}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $7$ .

$u^{2} + 7 u + 2 = 0$

Schritt 2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 7$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $8$ von $49$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{41}}{2}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{7 - \sqrt{41}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{41}}{2}$

Schritt 2.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = - 0.29843788$

${(x^{2})}^{1} = - 6.70156211$

Schritt 2.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = - 0.29843788$

Schritt 2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 0.29843788}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- 0.29843788}$ .

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Schritt 2.10.2.1

Schreibe $- 0.29843788$ als $- 1 (0.29843788)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (0.29843788)}$

Schritt 2.10.2.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (0.29843788)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.29843788}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.29843788}$

Schritt 2.10.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{0.29843788}$

Schritt 2.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{0.29843788}$

Schritt 2.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{0.29843788}$

Schritt 2.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{0.29843788}, - i \sqrt{0.29843788}$

Schritt 2.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 6.70156211$

Schritt 2.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 6.70156211$

Schritt 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6.70156211}$

Schritt 2.12.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 6.70156211}$ .

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Schritt 2.12.3.1

Schreibe $- 6.70156211$ als $- 1 (6.70156211)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6.70156211)}$

Schritt 2.12.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (6.70156211)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6.70156211}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6.70156211}$

Schritt 2.12.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{6.70156211}$

Schritt 2.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{6.70156211}$

Schritt 2.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{6.70156211}$

Schritt 2.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{6.70156211}, - i \sqrt{6.70156211}$

Schritt 2.13

Die Lösung von $7 x^{4} + 49 x^{2} + 14 = 0$ ist $x = i \sqrt{0.29843788}, - i \sqrt{0.29843788}, i \sqrt{6.70156211}, - i \sqrt{6.70156211}$ .

$x = i \sqrt{0.29843788}, - i \sqrt{0.29843788}, i \sqrt{6.70156211}, - i \sqrt{6.70156211}$

Schritt 3