Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9))$

Schritt 1

Setze $\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9))$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9)) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9))) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache $4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9)))$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9)) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3 + 2} + x^{3} \cdot - 9)) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Addiere $3$ und $2$ .

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{5} + x^{3} \cdot - 9)) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.3

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{5} - 9 \cdot x^{3})) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{4} (- 9 x^{3})) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{4} + \frac{1}{4} (- 9 x^{3})) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.6

Multipliziere $\frac{1}{4} (- 9 x^{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.6.1

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 9}{4} x^{3}) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.6.2

Kombiniere $\frac{- 9}{4}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{x^{5}}{4} - \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \frac{x^{5}}{4} + 4 (- \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{x^{5}}{4} + 4 (- \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.9.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{5} + 4 (- \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9 x^{3}}{4}$ in den Zähler.

$x^{5} + 4 \frac{- 9 x^{3}}{4} = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{5} + 4 \frac{- 9 x^{3}}{4} = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{5} - 9 x^{3} = 4 \cdot 0$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$x^{5} - 9 x^{3} = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} - 9 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{3} x^{2} - 9 x^{3} = 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 9 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9$ heraus.

$x^{3} (x^{2} - 9) = 0$

Schritt 2.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{3} (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x^{3} ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.3.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.5.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.7

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3, 3$

Schritt 3