Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$ gleich $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 2 x^{3} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3} + 18 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- 2 x \cdot x^{2} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $18 x$ heraus.

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 9)$ heraus.

$- 2 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 2 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- 2 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Schritt 2.1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $u^{2} - 15 u + 54$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $54$ und deren Summe $- 15$ ist.

$- 9, - 6$

Schritt 2.1.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

Schritt 2.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ heraus.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- 2 x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ heraus.

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.12

Stelle die Terme um.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} - 2 x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} - 2 x - 6$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Addiere $4$ und $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

Schritt 2.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Dezimalform:

$x = - 3, 3, 3.64575131 \dots, - 1.64575131 \dots$

Schritt 4