Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6$

Schritt 1

Setze $- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6$ gleich $0$ .

$- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 2.1.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 1^{4} - 2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $1$ mit $4$ .

$- 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - 2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 1 - 2 + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Schritt 2.1.1.3.6

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- 3 + 5 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 6$

Schritt 2.1.1.3.7

Potenziere $1$ mit $2$ .

$- 3 + 5 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 6$

Schritt 2.1.1.3.8

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 3 + 5 + 4 \cdot 1 - 6$

Schritt 2.1.1.3.9

Addiere $- 3$ und $5$ .

$2 + 4 \cdot 1 - 6$

Schritt 2.1.1.3.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 + 4 - 6$

Schritt 2.1.1.3.11

Addiere $2$ und $4$ .

$6 - 6$

Schritt 2.1.1.3.12

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6}{x - 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{3}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$6$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	+	$x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{4} + x^{3}$

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$6$
			+	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$6$
			+	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$3 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$4 x$	-	$6$
			+	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$3 x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{3} + 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - 2 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

Schritt 2.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

$6$

Schritt 2.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

$6$

Schritt 2.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Schritt 2.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x - 6$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Schritt 2.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$4 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

$0$

Schritt 2.1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 6$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $- x^{4} - 2 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (- x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 6) = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 x + 6) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) (x^{2} (- x - 3) - 2 (- x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 3$ .

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 3$ .

$(x - 1) ((- x - 3) (x^{2} - 2)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (- x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$- x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4

Setze $- x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $- x - 3$ gleich $0$ .

$- x - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $- x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 3$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x = - 3$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (- x - 3) (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 3, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 1, - 3, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 1, - 3, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$

Schritt 4