Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$

Schritt 1

Setze $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ gleich $0$ .

$x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Schritt 2.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{6} + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Schritt 2.1.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 + 4 \cdot 1 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Schritt 2.1.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$1 + 4 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Schritt 2.1.1.3.5

Addiere $1$ und $4$ .

$5 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Schritt 2.1.1.3.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$5 - 41 \cdot 1 + 36$

Schritt 2.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 41$ mit $1$ .

$5 - 41 + 36$

Schritt 2.1.1.3.8

Subtrahiere $41$ von $5$ .

$- 36 + 36$

Schritt 2.1.1.3.9

Addiere $- 36$ und $36$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36}{x + 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{6}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{6} + x^{5}$

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{5} - x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{4} + 5 x^{3}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{3} - 5 x^{2}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.21

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.1.1.5.22

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 36 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.1.1.5.23

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Schritt 2.1.1.5.24

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 36 x^{2} - 36 x$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Schritt 2.1.1.5.25

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Schritt 2.1.1.5.26

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Schritt 2.1.1.5.27

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $36 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Schritt 2.1.1.5.28

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Schritt 2.1.1.5.29

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $36 x + 36$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Schritt 2.1.1.5.30

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

$0$

Schritt 2.1.1.5.31

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36) = 0$

Schritt 2.1.2

Gruppiere die Terme um.

$(x + 1) (x^{5} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} + 5 x^{3} - 36 x$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $- 36 x$ heraus.

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (5 x^{2})$ heraus.

$(x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ heraus.

$(x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x + 1) (x ({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.5

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$(x + 1) (x (u^{2} + 5 u - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $u^{2} + 5 u - 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 36$ und deren Summe $5$ ist.

$- 4, 9$

Schritt 2.1.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) (x ((u - 4) (u + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.7

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x + 1) (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 1) (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 1) (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.10

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Schritt 2.1.11

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36) = 0$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.12.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 2.1.12.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 u$ heraus.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36) = 0$

Schritt 2.1.12.1.2

Schreibe $- 5$ um als $4$ plus $- 9$

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + (4 - 9) u + 36) = 0$

Schritt 2.1.12.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36) = 0$

Schritt 2.1.12.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.12.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36) = 0$

Schritt 2.1.12.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + u (- u + 4) + 9 (- u + 4)) = 0$

Schritt 2.1.12.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u + 4$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- u + 4) (u + 9)) = 0$

Schritt 2.1.13

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 4) (x^{2} + 9)) = 0$

Schritt 2.1.14

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Schritt 2.1.15

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2^{2} - x^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Schritt 2.1.16

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)) = 0$

Schritt 2.1.17

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ heraus.

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Schritt 2.1.17.1

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)) = 0$

Schritt 2.1.17.2

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.17.3

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))$ heraus.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.18

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.20

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + 2 x) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.21

Multipliziere $(x^{2} + 2 x) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 2) + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.21.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.21.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.22

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.22.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.22.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.22.1.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.22.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.22.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.22.1.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.22.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.22.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.22.1.3.1

Bewege $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.22.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.22.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.22.2

Addiere $- 2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + 0 - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.22.3

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.23

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 (2 - x) + x (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.23.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))) = 0$

Schritt 2.1.23.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Schritt 2.1.24

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.24.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.24.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Schritt 2.1.24.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Schritt 2.1.24.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x + x (- x))) = 0$

Schritt 2.1.24.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)) = 0$

Schritt 2.1.24.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.24.1.5.1

Bewege $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))) = 0$

Schritt 2.1.24.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.24.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 0 - x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.24.3

Addiere $4$ und $0$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - x^{2})) = 0$

Schritt 2.1.25

Stelle die Terme um.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Schritt 2.1.26

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.26.1

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.26.1.1

Schreibe $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.26.1.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.26.1.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4)) = 0$

Schritt 2.1.26.1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1))) = 0$

Schritt 2.1.26.1.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 4))) = 0$

Schritt 2.1.26.1.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 2^{2}))) = 0$

Schritt 2.1.26.1.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.26.1.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) ((x + 2) (x - 2)))) = 0$

Schritt 2.1.26.1.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x + 2) (x - 2))) = 0$

Schritt 2.1.26.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.26.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 2.4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.4.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 2.4.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 3 i, - 3 i, 1, - 2, 2$

Schritt 3