Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$

Schritt 1

Setze $x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$ gleich $0$ .

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ heraus.

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ heraus.

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 3 u - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} - 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((u - 4) (u + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12$ heraus.

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Schritt 2.1.9.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 9 x^{2} + 12 = 0$

Schritt 2.1.9.2

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 12 = 0$

Schritt 2.1.9.3

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Schritt 2.1.9.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2})$ heraus.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Schritt 2.1.9.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4)$ heraus.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.1.10

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Schritt 2.1.11

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 u + 4) = 0$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.12.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 2.1.12.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u$ heraus.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

Schritt 2.1.12.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

Schritt 2.1.12.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Schritt 2.1.12.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.12.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 4 u + 4) = 0$

Schritt 2.1.12.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

Schritt 2.1.12.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 4)) = 0$

Schritt 2.1.13

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Schritt 2.1.14

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Schritt 2.1.15

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.15.1

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.15.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Schritt 2.1.15.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.15.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.1.16

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

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Schritt 2.1.16.1

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 2.1.16.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.16.3

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1))$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.17

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.18

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.18.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.18.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.18.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.18.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 2.1.20

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

Schritt 2.1.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

Schritt 2.1.22

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.1.23

Stelle die Terme um.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

Schritt 2.1.24

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.24.1

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.24.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.24.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

Schritt 2.1.24.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.24.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.24.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.6.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2, 3, i, - i$

Schritt 3