Elementarmathematik Beispiele

${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

${(x - 1)}^{2} + {((0) - 2)}^{2} = 25$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere ${((0) - 2)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 1)}^{2} = 25 - {((0) - 2)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 25 - {(- 2)}^{2}$

Schritt 1.2.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

${(x - 1)}^{2} = 25 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

${(x - 1)}^{2} = 25 - 4$

Schritt 1.2.5

Subtrahiere $4$ von $25$ .

${(x - 1)}^{2} = 21$

Schritt 1.2.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - 1 = \pm \sqrt{21}$

Schritt 1.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 1 = \sqrt{21}$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \sqrt{21} + 1$

Schritt 1.2.7.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 1 = - \sqrt{21}$

Schritt 1.2.7.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \sqrt{21} + 1$

Schritt 1.2.7.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{21} + 1, - \sqrt{21} + 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{21} + 1, 0), (- \sqrt{21} + 1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

${((0) - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere ${((0) - 1)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(y - 2)}^{2} = 25 - {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

${(y - 2)}^{2} = 25 - {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

${(y - 2)}^{2} = 25 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(y - 2)}^{2} = 25 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

${(y - 2)}^{2} = 25 + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 2 = \pm \sqrt{25 + {(- 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{25 + {(- 1)}^{3}}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{25 - 1}$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $25$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{24}$

Schritt 2.2.5.3

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.2.5.3.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (6)}$

Schritt 2.2.5.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Schritt 2.2.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{6}$

Schritt 2.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 2 = 2 \sqrt{6}$

Schritt 2.2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2 \sqrt{6} + 2$

Schritt 2.2.6.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 2 = - 2 \sqrt{6}$

Schritt 2.2.6.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 \sqrt{6} + 2$

Schritt 2.2.6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 2 \sqrt{6} + 2, - 2 \sqrt{6} + 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2 \sqrt{6} + 2), (0, - 2 \sqrt{6} + 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{21} + 1, 0), (- \sqrt{21} + 1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 2 \sqrt{6} + 2), (0, - 2 \sqrt{6} + 2)$

Schritt 4