Elementarmathematik Beispiele

$y = - 0.005 x^{2} + x + 5$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 0.005 x^{2} + x + 5$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 0.005 x^{2} + x + 5 = 0$ um.

$- 0.005 x^{2} + x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 0.005 x^{2} + x + 5$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 0.005 x^{2}$ heraus.

$- (0.005 x^{2}) + x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (0.005 x^{2}) - 1 (- x) + 5 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$- (0.005 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (0.005 x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (0.005 x^{2} - x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (0.005 x^{2} - x) - 1 (- 5)$ heraus.

$- (0.005 x^{2} - x - 5) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $0.005$ aus $0.005 x^{2} - x - 5$ heraus.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Faktorisiere $0.005$ aus $0.005 x^{2}$ heraus.

$- (0.005 (x^{2}) - x - 5) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Faktorisiere $0.005$ aus $- x$ heraus.

$- (0.005 (x^{2}) + 0.005 (- 200 x) - 5) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Faktorisiere $0.005$ aus $- 5$ heraus.

$- (0.005 x^{2} + 0.005 (- 200 x) + 0.005 \cdot - 1000) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.4

Faktorisiere $0.005$ aus $0.005 x^{2} + 0.005 (- 200 x)$ heraus.

$- (0.005 (x^{2} - 200 x) + 0.005 \cdot - 1000) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.5

Faktorisiere $0.005$ aus $0.005 (x^{2} - 200 x) + 0.005 \cdot - 1000$ heraus.

$- (0.005 (x^{2} - 200 x - 1000)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 1 \cdot (0.005 (x^{2} - 200 x - 1000)) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.005$ .

$- 0.005 (x^{2} - 200 x - 1000) = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 0.005 (x^{2} - 200 x - 1000) = 0$ durch $- 0.005$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.005 (x^{2} - 200 x - 1000) = 0$ durch $- 0.005$ .

$\frac{- 0.005 (x^{2} - 200 x - 1000)}{- 0.005} = \frac{0}{- 0.005}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.005$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.005 (x^{2} - 200 x - 1000)}{- 0.005} = \frac{0}{- 0.005}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 200 x - 1000$ durch $1$ .

$x^{2} - 200 x - 1000 = \frac{0}{- 0.005}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 0.005$ .

$x^{2} - 200 x - 1000 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 200$ und $c = - 1000$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{200 \pm \sqrt{{(- 200)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1000)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 200$ mit $2$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{40000 - 4 \cdot 1 \cdot - 1000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1000$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{40000 - 4 \cdot - 1000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1000$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{40000 + 4000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Addiere $40000$ und $4000$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{44000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $44000$ als $20^{2} \cdot 110$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $400$ aus $44000$ heraus.

$x = \frac{200 \pm \sqrt{400 (110)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{200 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 110}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{200 \pm 20 \sqrt{110}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{200 \pm 20 \sqrt{110}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{200 \pm 20 \sqrt{110}}{2}$ .

$x = 100 \pm 10 \sqrt{110}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 200$ mit $2$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{40000 - 4 \cdot 1 \cdot - 1000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1000$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{40000 - 4 \cdot - 1000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1000$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{40000 + 4000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Addiere $40000$ und $4000$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{44000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4

Schreibe $44000$ als $20^{2} \cdot 110$ um.

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Schritt 1.2.7.1.4.1

Faktorisiere $400$ aus $44000$ heraus.

$x = \frac{200 \pm \sqrt{400 (110)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{200 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 110}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{200 \pm 20 \sqrt{110}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{200 \pm 20 \sqrt{110}}{2}$

Schritt 1.2.7.3

Vereinfache $\frac{200 \pm 20 \sqrt{110}}{2}$ .

$x = 100 \pm 10 \sqrt{110}$

Schritt 1.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 100 + 10 \sqrt{110}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $- 200$ mit $2$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{40000 - 4 \cdot 1 \cdot - 1000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1000$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{40000 - 4 \cdot - 1000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1000$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{40000 + 4000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.3

Addiere $40000$ und $4000$ .

$x = \frac{200 \pm \sqrt{44000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4

Schreibe $44000$ als $20^{2} \cdot 110$ um.

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Schritt 1.2.8.1.4.1

Faktorisiere $400$ aus $44000$ heraus.

$x = \frac{200 \pm \sqrt{400 (110)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{200 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 110}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{200 \pm 20 \sqrt{110}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{200 \pm 20 \sqrt{110}}{2}$

Schritt 1.2.8.3

Vereinfache $\frac{200 \pm 20 \sqrt{110}}{2}$ .

$x = 100 \pm 10 \sqrt{110}$

Schritt 1.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 100 - 10 \sqrt{110}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 100 + 10 \sqrt{110}, 100 - 10 \sqrt{110}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(100 + 10 \sqrt{110}, 0), (100 - 10 \sqrt{110}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 0.005 {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 0.005 {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 0.005 \cdot 0^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - 0.005 {(0)}^{2} + 0 + 5$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $- 0.005 {(0)}^{2} + 0 + 5$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 0.005 \cdot 0 + 0 + 5$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 0.005$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 5$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$y = 5$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(100 + 10 \sqrt{110}, 0), (100 - 10 \sqrt{110}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 4