Elementarmathematik Beispiele

${(x - 2)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 9$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

${(x - 2)}^{2} - {((0) - 1)}^{2} = 9$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere ${((0) - 1)}^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 2)}^{2} = 9 + {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 9 + {(- 1)}^{2}$

Schritt 1.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - 2 = \pm \sqrt{9 + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9 + {(- 1)}^{2}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x - 2 = \pm \sqrt{9 + 1}$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $9$ und $1$ .

$x - 2 = \pm \sqrt{10}$

Schritt 1.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 2 = \sqrt{10}$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \sqrt{10} + 2$

Schritt 1.2.5.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 2 = - \sqrt{10}$

Schritt 1.2.5.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \sqrt{10} + 2$

Schritt 1.2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{10} + 2, - \sqrt{10} + 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{10} + 2, 0), (- \sqrt{10} + 2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

${((0) - 2)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 9$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere ${((0) - 2)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- {(y - 1)}^{2} = 9 - {((0) - 2)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $9 - {((0) - 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- {(y - 1)}^{2} = 9 - {(- 2)}^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- {(y - 1)}^{2} = 9 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- {(y - 1)}^{2} = 9 - 4$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$- {(y - 1)}^{2} = 5$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- {(y - 1)}^{2} = 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(y - 1)}^{2} = 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(y - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{1} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 2.2.3.2.2

Dividiere ${(y - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{5}{- 1}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $5$ durch $- 1$ .

${(y - 1)}^{2} = - 5$

Schritt 2.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 1 = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$y - 1 = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$y - 1 = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 2.2.5.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y - 1 = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 2.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y - 1 = i \sqrt{5}$

Schritt 2.2.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = i \sqrt{5} + 1$

Schritt 2.2.6.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y - 1 = - i \sqrt{5}$

Schritt 2.2.6.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - i \sqrt{5} + 1$

Schritt 2.2.6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = i \sqrt{5} + 1, - i \sqrt{5} + 1$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\sqrt{10} + 2, 0), (- \sqrt{10} + 2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 4