Elementarmathematik Beispiele

$y = x - \frac{1}{75} x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x - \frac{1}{75} x^{3}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x - \frac{1}{75} x^{3} = 0$ um.

$x - \frac{1}{75} x^{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{75}$ .

$x - \frac{x^{3}}{75} = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x - \frac{x^{3}}{75}$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - \frac{x^{3}}{75} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- \frac{x^{3}}{75}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- \frac{x^{2}}{75}) = 0$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- \frac{x^{2}}{75})$ heraus.

$x (1 - \frac{x^{2}}{75}) = 0$

Schritt 1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.6

Setze $1 - \frac{x^{2}}{75}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $1 - \frac{x^{2}}{75}$ gleich $0$ .

$1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x^{2}}{75} = - 1$

Schritt 1.2.6.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 75$ .

$- 75 (- \frac{x^{2}}{75}) = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.6.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.3.1.1

Vereinfache $- 75 (- \frac{x^{2}}{75})$ .

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Schritt 1.2.6.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $75$ .

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Schritt 1.2.6.2.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{75}$ in den Zähler.

$- 75 \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.6.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $75$ aus $- 75$ heraus.

$75 (- 1) \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.6.2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$75 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.6.2.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.6.2.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.6.2.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.6.2.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Schritt 1.2.6.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 75$ mit $- 1$ .

$x^{2} = 75$

Schritt 1.2.6.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

Schritt 1.2.6.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{75}$ .

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Schritt 1.2.6.2.5.1

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.6.2.5.1.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Schritt 1.2.6.2.5.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.6.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.6.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.6.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.6.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - \frac{x^{2}}{75}) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (5 \sqrt{3}, 0), (- 5 \sqrt{3}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = (0) - \frac{1}{75} \cdot {(0)}^{3}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0 - \frac{1}{75} \cdot 0^{3}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0) - \frac{1}{75} \cdot {(0)}^{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $(0) - \frac{1}{75} \cdot {(0)}^{3}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - \frac{1}{75} \cdot 0$

Schritt 2.2.3.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{75} \cdot 0$ .

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$y = 0 + 0 (\frac{1}{75})$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{75}$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (5 \sqrt{3}, 0), (- 5 \sqrt{3}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4