Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 6$

Schritt 1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) + \ln (x + 10) - 6 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\ln (x) + \ln (x + 10) - 6$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 10)) - 6 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 10) - 6 = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 10) - 6 = 0$

Schritt 2.2.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} + 10 x) - 6 = 0$

Schritt 3

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x^{2} + 10 x) = 6$

Schritt 4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} + 10 x)} = e^{6}$

Schritt 5

Schreibe $\ln (x^{2} + 10 x) = 6$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{6} = x^{2} + 10 x$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 10 x = e^{6}$ um.

$x^{2} + 10 x = e^{6}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $e^{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 10 x - e^{6} = 0$

Schritt 6.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 10$ und $c = - e^{6}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{6}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.3

Schreibe $100 + 4 e^{6}$ als $2^{2} (25 + e^{6})$ um.

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Schritt 6.5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{6}$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (25) + 4 (e^{6})$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{6}}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.3

Schreibe $100 + 4 e^{6}$ als $2^{2} (25 + e^{6})$ um.

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Schritt 6.6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{6}$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (25) + 4 (e^{6})$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{6}}$

Schritt 6.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{6}}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.3

Schreibe $100 + 4 e^{6}$ als $2^{2} (25 + e^{6})$ um.

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Schritt 6.7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{6}$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (25) + 4 (e^{6})$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{6})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$

Schritt 6.7.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{6}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{6}}$

Schritt 6.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 5 - \sqrt{25 + e^{6}}$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{6}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{6}}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{6}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{6}}$

Dezimalform:

$x = 15.69852152 \dots, - 25.69852152 \dots$