Elementarmathematik Beispiele

$\log (x + 9) = 1 - \log (x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log (x + 9) - 1 = - \log (x)$

Schritt 1.2

Addiere $\log (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log (x + 9) - 1 + \log (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\log (x + 9) - 1 + \log (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 9) x) - 1 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + 9 x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} + 9 x) - 1 = 0$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log (x^{2} + 9 x) = 1$

Schritt 4

Schreibe $\log (x^{2} + 9 x) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} + 9 x$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 9 x = 10^{1}$ um.

$x^{2} + 9 x = 10$

Schritt 5.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 9 x - 10 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x^{2} + 9 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $9$ ist.

$- 1, 10$

Schritt 5.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) (x + 10) = 0$

Schritt 5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 10 = 0$

Schritt 5.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.6

Setze $x + 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Setze $x + 10$ gleich $0$ .

$x + 10 = 0$

Schritt 5.6.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 10$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 10) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 10$