Elementarmathematik Beispiele

$p - 8 \sqrt{p} = - 15$

Schritt 1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$p - 8 \sqrt{p} + 15 = 0$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{p}$ als $p^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$p - 8 p^{\frac{1}{2}} + 15 = 0$

Schritt 3

Schreibe $p$ als ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 p^{\frac{1}{2}} + 15 = 0$

Schritt 4

Es sei $u = p^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle $p^{\frac{1}{2}}$ .

$u^{2} - 8 u + 15 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $u^{2} - 8 u + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u - 3) = 0$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $p^{\frac{1}{2}}$ .

$(p^{\frac{1}{2}} - 5) (p^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

$p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Schritt 8

Setze $p^{\frac{1}{2}} - 5$ gleich $0$ und löse nach $p$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $p^{\frac{1}{2}} - 5$ gleich $0$ .

$p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Schritt 8.2

Löse $p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ nach $p$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$p^{\frac{1}{2}} = 5$

Schritt 8.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.3.1.1

Vereinfache ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Schritt 8.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Schritt 8.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$p^{1} = 5^{2}$

Schritt 8.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$p = 5^{2}$

Schritt 8.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$p = 25$

Schritt 9

Setze $p^{\frac{1}{2}} - 3$ gleich $0$ und löse nach $p$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $p^{\frac{1}{2}} - 3$ gleich $0$ .

$p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Schritt 9.2

Löse $p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$ nach $p$ auf.

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Schritt 9.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$p^{\frac{1}{2}} = 3$

Schritt 9.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.3.1.1

Vereinfache ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$p^{1} = 3^{2}$

Schritt 9.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$p = 3^{2}$

Schritt 9.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$p = 9$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(p^{\frac{1}{2}} - 5) (p^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$ wahr machen.

$p = 25, 9$