Elementarmathematik Beispiele

$\log (4 x) = \log (5) + \log (x - 3)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\log (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log (4 x) - \log (5) = \log (x - 3)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\log (x - 3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log (4 x) - \log (5) - \log (x - 3) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\log (4 x) - \log (5) - \log (x - 3)$ .

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Schritt 2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{4 x}{5}) - \log (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{4 x}{5}}{x - 3}) = 0$

Schritt 2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (\frac{4 x}{5} \cdot \frac{1}{x - 3}) = 0$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{4 x}{5}$ mit $\frac{1}{x - 3}$ .

$\log (\frac{4 x}{5 (x - 3)}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $\log (\frac{4 x}{5 (x - 3)}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{4 x}{5 (x - 3)}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$4 x = 10^{0} (5 (x - 3))$

Schritt 5

Vereinfache $10^{0} (5 (x - 3))$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 x = 1 (5 (x - 3))$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $5 (x - 3)$ mit $1$ .

$4 x = 5 (x - 3)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x = 5 x + 5 \cdot - 3$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$4 x = 5 x - 15$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 5 x = - 15$

Schritt 6.2

Subtrahiere $5 x$ von $4 x$ .

$- x = - 15$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 15$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 15$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 15$ durch $- 1$ .

$x = 15$