Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\ln (x - 1) + \ln (x + 2) - 1$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 1) (x + 2)) - 1 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $(x - 1) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (x + 2) - 1 (x + 2)) - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 2) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\ln (x^{2} + x - 2) - 1 = 0$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x^{2} + x - 2) = 1$

Schritt 4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} + x - 2)} = e^{1}$

Schritt 5

Schreibe $\ln (x^{2} + x - 2) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 2$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + x - 2 = e^{1}$ um.

$x^{2} + x - 2 = e$

Schritt 6.2

Subtrahiere $e$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - 2 - e = 0$

Schritt 6.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - 2 - e$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 - e))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.1.6

Addiere $1$ und $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.6

Addiere $1$ und $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Schritt 6.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Schritt 6.6.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Schritt 6.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{9 + 4 e}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Schritt 6.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{9 + 4 e})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Schritt 6.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.6

Addiere $1$ und $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Schritt 6.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Schritt 6.7.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Schritt 6.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{9 + 4 e}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Schritt 6.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\sqrt{9 + 4 e})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Schritt 6.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.72896429 \dots, - 2.72896429 \dots$