Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x) + \ln (x^{2}) = 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) + \ln (x^{2}) - 3 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\ln (x) + \ln (x^{2}) - 3$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) - 3 = 0$

Schritt 2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x^{1} x^{2}) - 3 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (x^{1 + 2}) - 3 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\ln (x^{3}) - 3 = 0$

Schritt 3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x^{3}) = 3$

Schritt 4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{3}$

Schritt 5

Schreibe $\ln (x^{3}) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{3}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} = e^{3}$ um.

$x^{3} = e^{3}$

Schritt 6.2

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x = e$