Elementarmathematik Beispiele

Löse durch Faktorisieren cos(2x)+5cos(x)+3=0
Schritt 1
Vereinfache die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.1
Wende die Doppelwinkelfunktion an, um nach zu transformieren.
Schritt 1.2
Addiere und .
Schritt 2
Faktorisiere durch Gruppieren.
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Schritt 2.1
Stelle die Terme um.
Schritt 2.2
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
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Schritt 2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.2.2
Schreibe um als plus
Schritt 2.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 2.3.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 2.3.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 2.4
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 4.1
Setze gleich .
Schritt 4.2
Löse nach auf.
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Schritt 4.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 4.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 4.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 4.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 4.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 4.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.2.3
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 4.2.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 4.2.4.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.5
Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 4.2.6
Vereinfache .
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Schritt 4.2.6.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.2.6.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 4.2.6.2.1
Kombiniere und .
Schritt 4.2.6.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.6.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 4.2.6.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.6.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.7
Ermittele die Periode von .
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Schritt 4.2.7.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 4.2.7.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 4.2.7.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 4.2.7.4
Dividiere durch .
Schritt 4.2.8
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
, für jede ganze Zahl
Schritt 5
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 5.1
Setze gleich .
Schritt 5.2
Löse nach auf.
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Schritt 5.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.2.2
Der Wertebereich des Cosinus ist . Da nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.
Keine Lösung
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
, für jede ganze Zahl