Elementarmathematik Beispiele

$\cos (2 x) + \cos (4 x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (4 x) = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (2 (2 x)) = 0$

Schritt 1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.2

Schreibe ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ als $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ um.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.3

Multipliziere $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.2

Multipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.4.1.2.1

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x))) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 {\cos (x)}^{2 + 2}) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{4} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.4.2

Subtrahiere $2 \cos^{2} (x)$ von $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

Schritt 1.1.3.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 = 0$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$ .

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Schritt 1.2.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$2 \cos^{2} (x) + 0 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $2 \cos^{2} (x)$ und $0$ .

$2 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $8 \cos^{2} (x)$ von $2 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $2 \cos^{2} (x)$ aus $- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 \cos^{2} (x)$ aus $- 6 \cos^{2} (x)$ heraus.

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 8 \cos^{4} (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2 \cos^{2} (x)$ aus $8 \cos^{4} (x)$ heraus.

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $2 \cos^{2} (x)$ aus $2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x))$ heraus.

$2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 4

Setze $\cos^{2} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cos^{2} (x)$ gleich $0$ .

$\cos^{2} (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cos^{2} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 4.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ gleich $0$ .

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 5.2

Löse $- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos^{2} (x) = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \cos^{2} (x) = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Schritt 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 5.2.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.7

Löse in $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 5.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.7.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.7.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.7.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 5.2.7.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.7.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 5.2.7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 5.2.7.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 5.2.7.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.8

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 5.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.8.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.2.8.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.2.8.4

Vereinfache $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 5.2.8.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.2.8.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.8.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.2.8.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Schritt 5.2.8.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.8.4.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Schritt 5.2.8.4.3.2

Subtrahiere $5 π$ von $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 5.2.8.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 5.2.10.1

Führe $\frac{π}{6} + 2 π n$ und $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ zu $\frac{π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.10.2

Führe $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ und $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ zu $\frac{5 π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 7.1

Führe $\frac{π}{2} + 2 π n$ und $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7.2

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$