Elementarmathematik Beispiele

$\tan^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \sec (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{3}{2} \cdot \sec (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sec (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\sec (x)$ und $\frac{3}{2}$ .

$\tan^{2} (x) - \frac{\sec (x) \cdot 3}{2} = 0$

Schritt 2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec (x)$ .

$\tan^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

Schritt 3

Ersetze die $\tan^{2} (x)$ durch $\sec^{2} (x) - 1$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\sec^{2} (x) - 1) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

Schritt 4

Stelle das Polynom um.

$\sec^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} - 1 = 0$

Schritt 5

Ersetze $\sec (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - \frac{3 (u)}{2} - 1 = 0$

Schritt 6

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{3 u}{2}) + 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 u}{2}$ in den Zähler.

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 6.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 u^{2} - 3 u + 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Schritt 7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 3$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.1.3

Addiere $9$ und $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.1.3

Addiere $9$ und $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Schritt 10.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{3 + 5}{4}$

Schritt 10.4

Addiere $3$ und $5$ .

$u = \frac{8}{4}$

Schritt 10.5

Dividiere $8$ durch $4$ .

$u = 2$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 11.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.1.3

Addiere $9$ und $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.1.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Schritt 11.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{3 - 5}{4}$

Schritt 11.4

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$u = \frac{- 2}{4}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 11.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 11.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u = \frac{- 1}{2}$

Schritt 11.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{2}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

Schritt 13

Ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 2, - \frac{1}{2}$

Schritt 14

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 15

Löse in $\sec (x) = 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (2)$

Schritt 15.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.2.1

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 15.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 15.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 15.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 15.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 15.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 15.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 15.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 15.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 15.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 15.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 15.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 15.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 15.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 15.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 16

Löse in $\sec (x) = - \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $- \frac{1}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 17

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$