Elementarmathematik Beispiele

$\tan^{2} (3 x) = \sqrt{1}$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan^{2} (3 x) - \sqrt{1} = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 = 0$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\tan^{2} (3 x) - 1^{2} = 0$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan (3 x)$ und $b = 1$ .

$(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Schritt 6

Setze $\tan (3 x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\tan (3 x) + 1$ gleich $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\tan (3 x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (3 x) = - 1$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x = \arctan (- 1)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Schritt 6.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.2.4.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.2.4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Schritt 6.2.4.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Schritt 6.2.5

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$3 x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 6.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 6.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 6.2.6.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{3 π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 6.2.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 6.2.6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 6.2.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.2.6.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.6.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.2.6.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.2.6.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (3 x)$ .

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Schritt 6.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2.7.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 6.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 6.2.8

Addiere $\frac{π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.2.8.1

Addiere $\frac{π}{3}$ zu $- \frac{π}{12}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{3}$

Schritt 6.2.8.2

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Schritt 6.2.8.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.8.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Schritt 6.2.8.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Schritt 6.2.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 - π}{12}$

Schritt 6.2.8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.8.5.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{12}$

Schritt 6.2.8.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{12}$

Schritt 6.2.8.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 6.2.8.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$\frac{3 (π)}{12}$

Schritt 6.2.8.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.8.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Schritt 6.2.8.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Schritt 6.2.8.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{4}$

Schritt 6.2.8.7

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 6.2.9

Die Periode der Funktion $\tan (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Setze $\tan (3 x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\tan (3 x) - 1$ gleich $0$ .

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $\tan (3 x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (3 x) = 1$

Schritt 7.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x = \arctan (1)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 7.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 7.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 7.2.4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 7.2.4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.2.4.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Schritt 7.2.5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.6.1

Vereinfache.

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Schritt 7.2.6.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.6.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 7.2.6.1.4

Addiere $π \cdot 4$ und $π$ .

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Schritt 7.2.6.1.4.1

Stelle $π$ und $4$ um.

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 7.2.6.1.4.2

Addiere $4 \cdot π$ und $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Schritt 7.2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Schritt 7.2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Schritt 7.2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Schritt 7.2.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.6.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 7.2.6.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 7.2.6.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.2.6.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Schritt 7.2.7

Ermittele die Periode von $\tan (3 x)$ .

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Schritt 7.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2.7.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 7.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 7.2.8

Die Periode der Funktion $\tan (3 x)$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{6}$ , für jede Ganzzahl $n$