Elementarmathematik Beispiele

$\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

Schritt 2

Es sei $u = \sin (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin (x)$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 2 u - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$(\sin (x) - 3) (\sin (x) + 1) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) - 3 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 6

Setze $\sin (x) - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\sin (x) - 3$ gleich $0$ .

$\sin (x) - 3 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\sin (x) - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = 3$

Schritt 6.2.2

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $3$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $\sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 7.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 7.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.2.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 7.2.7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 7.2.7.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.7.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 7.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 7.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(\sin (x) - 3) (\sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$