Elementarmathematik Beispiele

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Ersetze die $\sec^{2} (x)$ durch $1 + \tan^{2} (x)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(1 + \tan^{2} (x)) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 3

Mutltipliziere $- \sec^{2} (x)$ mit $\csc^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

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Schritt 4.1.1

Ordne Terme um.

$\tan^{2} (x) + 1 + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.3.1

Bewege $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere $- \sec^{2} (x)$ aus $\sec^{2} (x)$ heraus.

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $- \sec^{2} (x)$ aus $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ heraus.

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.3.4

Faktorisiere $- \sec^{2} (x)$ aus $- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x))$ heraus.

$- \sec^{2} (x) \cdot (- 1 + \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.4

Ordne Terme um.

$- \sec^{2} (x) \cdot (\csc^{2} (x) - 1) + \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.6.1

Schreibe $\sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x)$ als ${(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ um.

$- {(\sec (x) \cot (x))}^{2} + \csc^{2} (x) = 0$

Schritt 4.1.6.2

Stelle $- {(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ und $\csc^{2} (x)$ um.

$\csc^{2} (x) - {(\sec (x) \cot (x))}^{2} = 0$

Schritt 4.1.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \csc (x)$ und $b = \sec (x) \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \sec (x) \cot (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Schritt 4.1.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.8.1.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.8.1.1.1

Stelle $\sec (x)$ und $\cot (x)$ um.

$(\csc (x) + \cot (x) \sec (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Schritt 4.1.8.1.1.2

Schreibe $\sec (x) \cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Schritt 4.1.8.1.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$(\csc (x) + \frac{1}{\sin (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Schritt 4.1.8.1.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$(\csc (x) + \csc (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Schritt 4.1.8.2

Addiere $\csc (x)$ und $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Schritt 4.1.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.8.3.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.8.3.1.1

Stelle $\sec (x)$ und $\cot (x)$ um.

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\cot (x) \sec (x))) = 0$

Schritt 4.1.8.3.1.2

Schreibe $- (\sec (x) \cot (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) = 0$

Schritt 4.1.8.3.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$2 \csc (x) (\csc (x) - \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Schritt 4.1.8.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$2 \csc (x) (\csc (x) - \csc (x)) = 0$

Schritt 4.1.8.4

Subtrahiere $\csc (x)$ von $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) \cdot 0 = 0$

Schritt 4.1.9

Multipliziere $2 \csc (x) \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$0 \csc (x) = 0$

Schritt 4.1.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $\csc (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 5

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr