Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2 = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x + 4) (x - 4)) - 2 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $(x + 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Schritt 2.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.2.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 4$ und $4 x$ neu an.

$\log_{5} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\log_{5} (x^{2} - 16) - 2 = 0$

Schritt 3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$

Schritt 4

Schreibe $\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} - 16$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 16 = 5^{2}$ um.

$x^{2} - 16 = 5^{2}$

Schritt 5.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} - 16 = 25$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 25 + 16$

Schritt 5.3.2

Addiere $25$ und $16$ .

$x^{2} = 41$

Schritt 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{41}$

Schritt 5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{41}$

Schritt 5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{41}$

Schritt 5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Dezimalform:

$x = 6.40312423 \dots, - 6.40312423 \dots$