Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3}{4} x^{2} + 8 x + 20 = 0$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + 8 x + 20 = 0$

Schritt 2

Um $8 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + 8 x \cdot \frac{4}{4} + 20 = 0$

Schritt 3

Kombiniere $8 x$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{8 x \cdot 4}{4} + 20 = 0$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} + 8 x \cdot 4}{4} + 20 = 0$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} + 8 x \cdot 4$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (3 x) + 8 x \cdot 4}{4} + 20 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $8 x \cdot 4$ heraus.

$\frac{x (3 x) + x (8 \cdot 4)}{4} + 20 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x (8 \cdot 4)$ heraus.

$\frac{x (3 x + 8 \cdot 4)}{4} + 20 = 0$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{x (3 x + 32)}{4} + 20 = 0$

Schritt 6

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (3 x + 32)}{4} + 20 \cdot \frac{4}{4} = 0$

Schritt 7

Kombiniere $20$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (3 x + 32)}{4} + \frac{20 \cdot 4}{4} = 0$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (3 x + 32) + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 32 + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Schritt 9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x \cdot x + x \cdot 32 + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Schritt 9.3

Bringe $32$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 32 \cdot x + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Schritt 9.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 32 \cdot x + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 32 \cdot x + 20 \cdot 4}{4} = 0$

$\frac{3 x^{2} + 32 x + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $20$ mit $4$ .

$\frac{3 x^{2} + 32 x + 80}{4} = 0$

Schritt 9.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 80 = 240$ und deren Summe gleich $b = 32$ ist.

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Schritt 9.6.1.1

Faktorisiere $32$ aus $32 x$ heraus.

$\frac{3 x^{2} + 32 (x) + 80}{4} = 0$

Schritt 9.6.1.2

Schreibe $32$ um als $12$ plus $20$

$\frac{3 x^{2} + (12 + 20) x + 80}{4} = 0$

Schritt 9.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 20 x + 80}{4} = 0$

Schritt 9.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(3 x^{2} + 12 x) + 20 x + 80}{4} = 0$

Schritt 9.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 x (x + 4) + 20 (x + 4)}{4} = 0$

Schritt 9.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 4$ .

$\frac{(x + 4) (3 x + 20)}{4} = 0$

Schritt 10

Setze den Zähler gleich Null.

$(x + 4) (3 x + 20) = 0$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$3 x + 20 = 0$

Schritt 11.2

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 11.3

Setze $3 x + 20$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.3.1

Setze $3 x + 20$ gleich $0$ .

$3 x + 20 = 0$

Schritt 11.3.2

Löse $3 x + 20 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.3.2.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 20$

Schritt 11.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 20$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 11.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 20$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Schritt 11.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Schritt 11.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 20}{3}$

Schritt 11.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{20}{3}$

Schritt 11.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) (3 x + 20) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, - \frac{20}{3}$